Простые мысли на тему необходимости упоминания "выразимости в радикалах" в теореме Абеля Руффини

18 MAY 2024

Я крайне хотел вчера начать серию записей, но никак не успел. Поэтому сделаю коротенькую заметку на тему математики хотя бы сейчас, с телефона.

И связана она со словосочетанием "выражается / выразимость в радикалах". Мне давно было известно определение радикала, слово происходит от латинского radix - корень и обозначает символьный знак арифметического корня, собственно изначально записываемый в форме первой буквы radix, т.е r, он в последствии и выродился в тот причудливый значок, что мы наблюдаем на письме сейчас.

Выразимость в радикалах встречалась мне дважды: 1) при изучении алгебраических уравнений высших степеней и 2) если я не ошибаюсь, то где-то в интегрировании (I quickly forgot).

Возвращаясь к более интересному мне первому пункту, почему в теореме Абеля говорится именно про невыразимость в радикалах? А это по определению возможность выразить корни уравнения через числа выбранного поля и базовые арифметические функции: Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую степень и взятие корня целой степени. Я задумался почему набор именно такой и зачем наши руки так ограничивать.

И ответ конечно тривиален, по крайней мере одна понятная мысль, с ним связанная. Этот набор взят в теореме Абеля потому, что эти функции элементарно считаются и наиболее связаны с определением самого алгебраического уравнения, но сейчас я бы не удивился если б он был произвольным с сохранением ограниченности и целомудрия в выборе) отбросив океаны воды:

Если мы можем корни аналитически выражать через функции, то если не ограничить через какие функции мы хотим выражать, то можем получить полный бред. У примеру, корень равен значению функции, которая выдаёт этот корень. Т. е. Выражение очевидное, но ни о чем, так как считать подобную функцию мы не умеем и как раз хотим научится. Нам важно, чтобы функция была известно каким образом вычислима. Так, например, я может и не помню алгоритма для взятия корня с любой заданной точностью, но я знаю, что он есть и при желании из его определения я могу его найти. Также с остальными элементарными операциями. Эту тему у нас также затрагивали недавно на теоретической физике при вводе в задаче эллиптических интегралов. Нас просили привыкнуть к новым обозначениям и не смотря на страшный вид определения этих функций оставлять их в ответе, т. е. как бы добавить их в базис функций, выражения с которыми мы считаем конечными. Ведь эти эллиптические интегралы также можно с помощью известных численных методов вычислить с любой точностью.

Примерно из этого по моему мнению следует ограничения набора функций для выражения в теореме Абеля. Просто взяты функции, вычисление которых нам хорошо известно. Наверняка выбор не был произволен, но пока о таком я судить не могу (пока не вникну в теорию Галуа) . Также интересно, что русская (но не английская) статья Википедии указывает, что для уравнений пятой степени существует общая формула корней с некоторой тета функцией, статья о которой слишком сложна, чтобы я решил в неё вникать. Однако это ещё раз показывает, что просто о невыразмости без указания набора функций для выражения говорить нельзя. Так как если ввести какие-то сторонние теории с более сложными выражениями, то их аппарат такие выражения уже вводит.

Думаю все это можно было сократить раз в 5 так точно, но таков мой поток мыслей, bare with it.